本文刊載於武漢樂學院學報《黃鐘》1999-1、2期

音的性質(於電腦內)數據化的商榷(一)

── 音高、音調、音程、音長

    這裡所指的"音的性質",是指人耳對音所生的客觀感受與反應而言。如:音之高低、音之長短、音之音色、音之強弱....等。

    這些性質,在電腦資訊中,自然都是以數據(或說數位)的型態,來模擬、記錄、轉換的。Midi的本義,其實就是就是這種數據化的『標準』之一。

    筆者因為立願從事古琴譜之電腦翻譯、抄製與出版,又須兼及一般樂譜與工尺譜的繕製,因此不得不自行設計轉譜程式,經近十年來的研思與改進,自然也自行發展出一套標準,相信與Midi雷同的可能性極少,願在此先對音高、音調、音長部份加以披露,以就教同好!

                      　　  ---導言---

    有的系統把樂音資訊，當作一般文書資料來看待。如以”．５　─　─　“表示「三拍的高音Ｓｏ」之類。這種方式太過原始，不利於資料的再處理與轉化，又很浪費記憶體。

 本身也無法適應音樂的要求。

    我們心目中的樂音資訊是數據化的。他以數位的方式，存儲於電腦主記憶體及輔助記憶體內，當我們要運用他時，才透過程式內的公式來轉化、翻譯，並以我們所須要的各種型態出現。

    現在所稱的Midi就類同於此種觀念。

                        ---音高、音調部份---

    我們設計音高在電腦數據中的表示法時,有幾個問題是要加以考量的:除須顧及音程之不規則性之外(如自然音階中,有些鄰音是全音,有些卻是半音,si-Do移調時就不能是Fa-So而應是#Fa-So之類),還須顧及不同音域,及(臨時及調性)#、b記號的表示法,及在運算及轉(調)換(算)之方便性問題。

    第一種可想到的設計,是把Do定為0、Re定為2、Mi定為4、Fa定為5、So定為7、La定為9、Si定為11,之類。即半音間之數據差一,全音間之數據差二。但0(Do)與2(Re)之間的1,究應為#Do呢?還是bRe呢?在這個問題有答案之前,全音之數據兩倍於半音之數據的這種設計,意義就不大。因此我們不須考慮這種設計。

    第二種設計,是參考簡譜,把Do定為1、Re定為2、Mi定為3、Fa定為4、So定為5、La定為6、Si定為7之類。即無論半音全音,數據均差一,不必管其鄰音音程之不同。至於#、b號,則採用每音另配屬一個記憶體作為旗號的辦法,遇有符號,則通知此旗號易幟,當然也就可以表示bb、b、%、#、X、及『無』,等六種臨時或調性符號了。這種辦法要用到兩個以上的位元組,(高低八度若再用一位元組,就須三個位元組以上)所用的位元組(Bytes),本身又未充分利用。因此音符越多,浪費就越大。且轉調、移調時如何簡便的變換#b號呢?這也是大問題之一!

    幾經研思,我採取的第三種設計,則完全放棄音列式的級進表示法,而改採五度環的表示法,如下:

    這種設計,八度內的35個(包括各種異名同律位音)含升降符號音,每一音皆可有明確定義的數據代值。(──最大數據與最小數據,差34。)

    我們若用-15到+19,這些整數數據代值來代表音高,則程式該如何轉換這些代值，為音樂上的音名呢?如何轉調呢？

    可以透過我們所設計的，下面這三個公式：

公式甲：基本音名(無升降號)＝〔（代值(有升降號) Ｘ ４）＋１〕／７的餘數

        譬如 La＝６，即＝〔（代值３Ｘ４）＋１〕／７＝１３／７之餘數 ６

          如 Si＝７，即＝〔（代值５Ｘ４）＋１〕／７＝２１／７之餘數 ７

２１／７之餘數本為０，可見餘數若小或等於０，必須加上７，方合我們的須

要，       

由此bSo＝５，即＝〔（代值-6  Ｘ４）＋１〕／７ ＝-23 ／７之餘數=-2+7

   bbRe＝２，即＝〔（代值-12 Ｘ４）＋１〕／７ ＝-47 ／７之餘數=-5+7

    #So＝５，即＝〔（代值８　Ｘ４）＋１〕／７ ＝３３／７之餘數５

 公式乙： 當　－１５ ＜＝代值＜＝ －９   有一　『ｂｂ』符號

          當　－　８ ＜＝代值＜＝ －２   有一　『　ｂ』符號
          當　－　１ ＜＝代值＜＝ 　５   無　　　　　　符號

          當　　　６ ＜＝代值＜＝ １２   有一　『　＃』符號

          當　　１３ ＜＝代值＜＝ １９   有一　『　Ｘ』符號

 公式丙： 移高五度調（多一升記號，或少一降記號的調）只要將代值全減一。

         移低五度調（多一降記號，或少一升記號的調）只要將代值全加一。

         移高二度調（多兩升記號，或少兩降記號的調）只要將代值全減二。

         移低二度調（多兩降記號，或少兩升記號的調）只要將代值全加二。

         移高六度調（多三升記號，或少三降記號的調）只要將代值全減三。

         移低六度調（多三降記號，或少三升記號的調）只要將代值全加三。

          ：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：

依此類推，升降號可自動調整...........................。

    移高五度調後,原音名必轉化為低五度了;移低五度調後,原音名必轉化為高五度了。

    這是移高五度,要減一,移高二度要減二....;

這是移低五度,要加一,移低二度要加二....,剛好反相的原理。

    這種五度環的對應表示法,有此三公式來處理之後,相對於一般的鄰音列對應法,應是簡捷又方便許多的。

    不過這種表示法,代值是有正負值的,電腦處裡有正負之數值時,必須浪費一個位元來表示正負符號。我們為了節約位元,以便可只用一位元組,就能同時表示音名與音域,最好將代值再全改為正數。

    我們預備只用5個位元來處理音高代值,(三個位元來處理音域)。則因2^5=32 < 35。因此我們必須放棄上述五度環的頭尾三音(bbFa、ｘMi與ｘSi─反正這三音本也就是絕少用到的!)則35-3=32,才能剛好可用五個位元來表達。1 Byte 有八位元,基本音名只用掉五個,如此省下的三位元(8-5=3),我們才可以用來表達(2^3=8)八個八度的音域(見後所述)。

    總之這種作法的目的,是為了節約位元,使基本音名、#b符號、音域等三個有關音高與音調的音性,可以只用一個Byte的數位,就全得以表達清楚!對這個只有正數，不用負數的資料變數（記憶體）型態,我們則可以透過加上 Unsigned (以Ｃ語言為例)修飾詞的辦法,來通知電腦,取消正負號,如此就可以達到多一位元來運用之目的。

    修正後的代值如下:

 修正公式甲：基本音名(無升降符號)＝〔（代值(有升降符號) Ｘ ４）＋１〕／７的餘數。公式甲,基本上並無改變,只是少了餘數小於０時之處理。(餘數若等於０，就直接轉換為７)。更形簡單!由此公式可知:

代值為 0、 7、14、21、28除七之餘數為0者,基本音名為Do(1);

    代值為 2、 9、16、23、30除七之餘數為2者,基本音名為 Re(2);

    代值為 4、11、18、25     除七之餘數為4者,基本音名為 Mi(3);

    代值為    6、13、20、27  除七之餘數為6者,基本音名為 Fa(4);

    代值為1、 8、15、22、29  除七之餘數為1者,基本音名為 So(5);

    代值為3、10、17、24、31  除七之餘數為3者,基本音名為 La(6);

    代值為5、12、19、26      除七之餘數為5者,基本音名為 Si(7);

    下面談到移調時,我們還會運用到此規則。

 修正公式乙： 當　    ０　＜＝代值＜＝　　５ 有一　『ｂｂ』符號

              當　　　６　＜＝代值＜＝　１２ 有一　『　ｂ』符號

              當　　１３　＜＝代值＜＝　１９ 無　　　　　　符號

              當　　２０　＜＝代值＜＝　２６ 有一　『　＃』符號

              當　　２７　＜＝代值＜＝　３１ 有一　『　Ｘ』符號

 公式丙不變： 移為高五度調,只要將代值全減一。

              移為低五度調,只要將代值全加一。

依此類推，升降號可自動調整

    現在,八度內之七個基本音已可用一Byte 的數據代值來處理了,我們再來研討高低八度如何表示的問題?依自然數級進法,即:

Do定為1、Re定為2、....Si定為7、

．     　 ．       ．       

Do定為8、Re定為9...Si定為14、

:

Do定為15....之類的辦法，

高一八度數據值就要＋７,

低一八度就要－７。

若音域為八個八度，則最大數與最小數差５６。

    這種方法顯然不適於我們採用。我們因為已兼顧#b號的關係,一個八度內數據代值已差32,則高低八度不能只加減７，而最少要加減32。(前面我們已將八度內之異名同律位基本音,由35個縮減為32個)。

    電腦記憶體的一Byte,有八個位元,我們既已將前五位元(2^5=32個數位)來表示八度內之32個異名同律位音,則剩下的三個位元,正可以表達(2^3=8)八個八度。用自然數來說,就是每升降八度要加減３２。但對二進位的（後三）位元來說,則升降八度,只要加減１而已。下面是用用位元來表示之對應情形:

                                   二進位      十進位

                                 後三位元值    自然數

         大字二組 = 000 00000      000 = 0     + 0 x 32 =  0

         大字一組 = 001 00000      001 = 1     + 1 x 32 = 32

         大字  組 = 010 00000      010 = 2     + 2 x 32 = 64

         小字  組 = 011 00000      011 = 3     + 3 x 32 = 96

         小字一組 = 100 00000      100 = 4     + 4 x 32 = 128

         小字二組 = 101 00000      101 = 5     + 5 x 32 = 160

         小字三組 = 110 00000      110 = 6     + 6 x 32 = 192

         小字四組 = 111 00000      111 = 7     + 7 x 32 = 224

     程式如何分別讀取一個位元組的後三位元,及前五位元,又分別轉換成音域及基本音名呢?辦法很多!我個人所採的辦法是:

    1、讀取前五位元值時:用 000 11111 (即十進位之 31) 與代值 作 AND 之運算,

    　　  ＸＸＸ　ＸＸＸＸＸ

AND  ０００　１１１１１

-------------------------------------

          ０００　ＸＸＸＸＸ  

可得到前五位元十進位值0 - 31(含升降號之代值)

 (即相當於,取代值除以32之餘數)乘4後加1,再除以7,即為基本音名(無升降號)代值1-7。

    2、讀取後三位元值時:用 111 00000 (即十進位之224) 與代值 作 AND 之運算,

ＸＸＸ　ＸＸＸＸＸ

    AND  １１１　０００００

　　-------------------------------------

          ＸＸＸ　０００００  

可得到 後三位元十進位 0 - 224除以32 後即為音域代值 0 - 7                               (即相當於,取代值除以32之商數)

                ------移調時對音域的影響部份------

 以平移為高五度調為例,五度轉換後,有四音名(1234),必須轉化為低八度,如下:

                                   #

                               . .  . .

    原        音        名 5 6 71 2 3 4

                                    .

    平移為高五度調後之音名 1 2 34 5 6 71

    -------------------------------------------------------------------

  以平移為高大二度調為例,二度轉換後,有一音名(1),必須轉化為低八度,如下:

                              #    #.

    原        音        名 2 3 45 6 7 1

                                    .

    平移為高二度調後之音名 1 2 34 5 6 71

    -------------------------------------------------------------------

 以平移為低五度調為例,五度轉換後,有四音名(4567),必須轉化為高八度,如下:

                                b

    原        音        名 4 5 67 1 2 3

                           . . ..

                                       .

    平移為低五度調後之音名 1 2 34 5 6 71

    ----------------------------------------------------------------------

以平移為低大二度調為例,二度轉換後,有一音名(7),必須轉化為高八度,如下:

                           b    b

    原        音        名 7 1 23 4 5 6

                           .           .

      .

    平移為低二度調後之音名 1 2 34 5 6 71

    ----------------------------------------------------------------------

歸納後,應如下所示:

      ＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣ    ＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣ

      調調調調調調調調調調調調調調    調調調調調調調調調調調調調調

      移移移移移移移移移移移移移移    移移移移移移移移移移移移移移

      為為為為為為為為為為為為為為    為為為為為為為為為為為為為為

        ｂ  ｂ    ＃ｂ  ｂ  ｂ          ｂ  ｂ    ＃ｂ  ｂ  ｂ

      ＣＤＤＥＥＦＦＧＧＡＡＢＢＣ    ＣＤＤＥＥＦＦＧＧＡＡＢＢＣ

      調調調調調調調調調調調調調調    調調調調調調調調調調調調調調

      －－－－－－－－－－－－－－    －－－－－－－－－－－－－－

        ５２３４１６６１４３２５        ５２３４１６６１４３２５

      　ｂ＃ｂ＃ｂ＃ｂ＃ｂ＃ｂ＃      　ｂ＃ｂ＃ｂ＃ｂ＃ｂ＃ｂ＃

        記記記記記記記記記記記記        記記記記記記記記記記記記

        號號號號號號號號號號號號        號號號號號號號號號號號號

      －－－－－－－－－－－－－－    －－－－－－－－－－－－－－

          應降低八度(代值減32)之音      應升高八度(代值加32)之音

      －－－－－－－－－－－－－－    －－－－－－－－－－－－－－

          Do  Do  Do  Do  Do  Do        Si  Si  Si  Si  Si  Si

              Re   Re  Re  Re  Re        La  La  La  La  La  　

                   Mi  Mi  Mi  Mi        So  So  So  So  　  　

                       Fa   Fa  Fa        Fa  Fa  ４  　  　  　

                            So  So        Mi  Mi  　  　  　  　

                                La        Re  　  　  　  　  　　　　　

      －－－－－－－－－－－－－－    －－－－－－－－－－－－－－

          代 值 除 七 之 餘 數 為       代 值 除 七 之 餘 數 為

      －－－－－－－－－－－－－－    －－－－－－－－－－－－－－

          ０  ０  ０  ０  ０  ０

          　　　　　 　　 １  １        １  １  １  １

          　  ２  ２  ２  ２  ２        ２

          　　　　　　　　　　３        ３  ３　３  ３  ３

          　 　　 ４  ４  ４  ４        ４  ４

          　　　 　　                   ５  ５　５　５  ５  ５

                      ６  ６  ６        ６  ６  ６

      －－－－－－－－－－－－－－    －－－－－－－－－－－－－－

    由上表可知:

    Ｃ調移為ｂＤ調(５ｂ記號)時,應先將原Si、La、So、Fa、Mi、Re六音升高八度,再轉換。

    換句話說,必須通知電腦(程式)原代值除七之餘數,為１、２、３、４、５、６者,除要加減平移之代值(此處為減五──因兩調差五降記號)之外,還要將代值再加32 。

    Ｃ調移為　Ｂ調(５＃記號)時,應先將原La、So、Fa、Mi、Re、Do六音降低八度,再轉換。

    換句話說,必須通知電腦(程式)原代值除七之餘數,為６、０、１、２、３、４者,除要加減平移之代值(此處為加五──因兩調差五升記號)之外,還要將代值再減32 。

  餘類推。

     以後我們會談到，翻譯古琴譜時，會計算各空絃之音高(程)代值＋徽位之音高(程) 代值(＋泛音之音高(程)代值)。通常會超過好幾個八度，我們其實可以用更簡便的方法來應付此種音名轉換時，對音域的影響。

    以Do(1)為例，其五度為So(5)，在同一八度內。代值只要加1，無須再加音域值(3 2)；

                             ． .

        以So(5)為例，其五度為Re(2)，在高一八度上。代值就要加1後，再加音域值(32) 。

 公式丁:

     也就是說：無論升高幾度(八度內)後，基本音名也變大的(如５＞１)，可知就在同一八度內，無須加３２；無論升高幾度(八度內)後，基本音名反變小的(如２＞５)，可知必在高一八度上，須再加３２。

 　　反之：無論降低幾度(八度內)後，基本音名也變小的(如１＜５)，可知就在同一八度內，無須減３２；無論降高幾度(八度內)後，基本音名反變大的(如５＞２)，可知必在低一八度下，須再減３２。

     而基本音名之值，則可用修正公式甲：

基本音名(無升降符號)＝〔（代值(有升降符號) Ｘ ４）＋１〕／７的餘數，         (餘數若等於０，就直接轉換為７)先行計算出後，再作比較及處理。

                        ---音程、和絃部份---

     電腦製譜的第一步,面臨的就是音符輸入問題。基本旋律的輸入,無疑是無論如何,都難以省略減免的。但和絃部份既有樂理規則可尋,則和絃之實音我們就希望能不必一一輸入, 而期盼能改採只用和絃記號通知電腦(程式),就能自行完成輸入的方式。如此才更能充分 發揮電腦的人工智慧,減免不必要的枯燥工作。

    早期鋼琴譜,及現行的吉它譜,就是採用只記和絃名稱,不必記出和絃實音之制度的!

     音程與和絃如何設計呢?

     上述五度環上具升降符號音(由0至31)之代值,因為是一種一對一的嚴格對應函數,洽是一組值得採用的數據。

    譬如純五度音程,其代值差必為一。反之代值差為一者,又必為純五度音程。

    再如大二度音程,其代值差必為二。反之代值差為二者,又必為大二度音程。

    再如小二度(自然半音)音程,其代值差必為五。反之代值差為五者,又必為小二度音程。

    而增一度(變化半音)音程,其代值差必為七。反之代值差為七者,又必為增一度音程。

    我們可由此觀察出原位大三和絃(如Do/Mi/So)之代值(此例為14/18/15),中音與低音之代值差(Ａ值)為四,高音與低音之代值差（Ｂ值）為一。現在我們就可以（四／一）來代稱大三和絃之原位了。此值我把它叫作和絃的『ＡＢ值』。其中Ａ值是中音與低音的代值差；Ｂ值是高音與低音的代值差。合稱『ＡＢ值』。

 　　我們可以進一步發現，只要三音之組合，其『ＡＢ值』為（四／一）的，都是大三和絃原位。只要是原位大三和絃其『ＡＢ值』又必是（四／一）。

 　　同理我們可求出各基本三和弦之『ＡＢ值』，如下：

     大三和絃原位之    『ＡＢ值』：（　四／　一）如 (Do/Mi/ So)之(14/18/15)

     小三和絃原位之    『ＡＢ值』：（負三／　一）如 (Mi/So/ Si)之(18/15/19)

     增三和絃原位之    『ＡＢ值』：（　四／　八) 如 (So/Si/#Re)之(15/19/23)

     減三和絃原位之    『ＡＢ值』：（負三／負六）如 (Si/Re/ Fa)之(19/16/13)

     大三和絃第一轉位之『ＡＢ值』：（負三／負四）如 (Mi/ So/Do)之(18/15/14)

     小三和絃第一轉位之『ＡＢ值』：（  四／　三）如 (So/ Si/Mi)之(15/19/18)

     增三和絃第一轉位之『ＡＢ值』：（　四／負四) 如 (Si/#Re/So)之(19/23/15)

     減三和絃第一轉位之『ＡＢ值』：（負三／  三）如 (Re/ Fa/Si)之(16/13/19)

     大三和絃第二轉位之『ＡＢ值』：（負一／　三）如 ( So/Do/Mi)之(15/14/18)

     小三和絃第二轉位之『ＡＢ值』：（負一／負四）如 ( Si/Mi/So)之(19/18/15)

     增三和絃第二轉位之『ＡＢ值』：（負八／負四) 如 (#Re/So/Si)之(23/15/19)

     減三和絃第二轉位之『ＡＢ值』：（　六／  三）如 ( Fa/Si/Re)之(13/19/16)

     原位、第一轉位、第二轉位之『ＡＢ值』應有下列關系，可供我們核對：

     設原位之Ａ值為Ｘ，Ｂ值為Ｙ，則第一轉位之Ａ值為Ｙ－Ｘ；Ｂ值為　－Ｘ；

     設原位之Ａ值為Ｘ，Ｂ值為Ｙ，則第二轉位之Ａ值為　－Ｙ；Ｂ值為Ｘ－Ｙ。

     有了上面這份對照表，我們就可以在已輸入低音後，用再通知電腦（程式），各三和絃之中音與高音,和低音之代值差(音程)各是多少的辦法，讓電腦自行輸入完整的和絃。

    至此我們還不滿足，我們還希望再建立起其它的常用和絃，尤其是七和絃的 『ＡＢ值』對照表，因為七和絃的輸入工作比三和絃更繁複、枯燥而易錯。更須要發揮電腦的人工智慧。

　　下面是我們整理出來的,已可供電腦運用的,其它各常用(七)和弦之『ＡＢ值』對照表：

    降上主音增六和弦之『ＡＢ值』：(  四／  十) 如 (bRe/ Fa/ Si)之( 9/13/19)

      拿波列頓六和絃之『ＡＢ值』：(負三／負四) 如 ( Fa/bLa/bRe)之(13/10/ 9)

   屬音變體(小)三和絃之『ＡＢ值』：(負三／  一) 如 ( So/bSi/ Re)之(15/12/16)

    降下中音增六和弦之『ＡＢ值』：(  四／  十) 如 (bLa/ Do/#Fa)之(10/14/20)

 降導音變體(小)三和絃之『ＡＢ值』：(負三／  一) 如 (bSi/bRe/ Fa)之(12/ 9/13)

      主音變體七和弦之『ＡＢ值』：(　四／　一／負二) 如 ( Do/ Mi/ So/bSi)之(14 /18/15/12)

 降上主音四音增六和弦之『ＡＢ值』：(  四／　一／　十) 如 (bRe/ Fa/bLa/ Si)之( 9 /13/10/19)

 降上主音四音增六和弦之『ＡＢ值』：(  四／　六／　十) 如 (bRe/ Fa/ So/ Si)之( 9 /13/15/19)

     上主音變體七和弦之『ＡＢ值』：(　四／　一／負二) 如 ( Re/#Fa/ La/ Do)之(16 /20/17/14)

   上主音減三小七和弦之『ＡＢ值』：(負三／負六／負二) 如 ( Re/ Fa/bLa/ Do)之(16 /13/10/14)

 下屬音大三和弦加小七之『ＡＢ值』：(　四／　一／負二) 如 ( Fa/ La/ Do/ Mi)之(13 /17/14/11)

       下屬(大)七和絃之『ＡＢ值』：(  四／　一／  五) 如 ( Fa/ La/ Do/ Mi)之(13 /17/14/18)

             屬七和絃之『ＡＢ值』：(  四／　一／負二) 如 ( So/ Si/ Re/ Fa)之(15 /19/16/13)

 屬音減五小七變體和弦之『ＡＢ值』：(負三／負六／負二) 如 ( So/bSi/bRe/ Fa)之(15 /12/ 9/13)

 降下中音四音增六和弦之『ＡＢ值』：(  四／　一／　十) 如 (bLa/ Do/bMi/#Fa)之(10 /14/11/20)

     降下中音增六和弦之『ＡＢ值』：(  四／　六／　十) 如 (bLa/ Do/ Re/#Fa)之(10 /14/16/20)

             小七和絃之『ＡＢ值』：(負三／　一／負二) 如 ( La/ Do/ Mi/ So)之(17 /14/18/15)

   下中音減三小七和弦之『ＡＢ值』：(負三／負六／負二) 如 ( La/ Do/bMi/ So)之(17 /14/11/15)

   降導音大三小七和絃之『ＡＢ值』：(  四／　一／  五) 如 (bSi/ Re/ Fa/ La)之(12 /16/13/17)

           導音七和弦之『ＡＢ值』：(負三／負六／負二) 如 ( Si/ Re/ Fa/ La)之(19 /16/13/17)

       導音變體七和弦之『ＡＢ值』：(　四／　一／負二) 如 ( Si/#Re/#Fa/ La)之(19 /23/20/17)

                        ---音長部份---

     音長的數據設計,牽涉到附點與雙附點,附點音符拍長要加一半,雙附點要再加四分之一,這正是一種二進位的體系。不但如此,其它音符的原始設計,以電腦的觀點來看,其實也都是二進位式的,譬如:

            全音符之拍長,等於二分音符的兩倍;

          二分音符之拍長,等於四分音符的兩倍;

          四分音符之拍長,等於八分音符的兩倍;

          八分音符之拍長,等於16分音符的兩倍;

          16分音符之拍長,等於32分音符的兩倍;

          32分音符之拍長,等於64分音符的兩倍。

    所以音長代值正適用於,採二進位之位元,來對應處理,是我們很容意想到的,以下是其對應表:

      數據代值   對應位元圖       音符種類   拍  長

      --------      ----------          --------      ------

       128       1000 0000          全音符   四  拍

        64       0100 0000        二分音符   二  拍

        32       0010 0000        四分音符   一  拍

        16       0001 0000        八分音符   1/2 拍

         8       0000 1000        16分音符   1/4 拍

         4       0000 0100        32分音符   1/8 拍

         2       0000 0010        64分音符   1/16拍

         1       0000 0001       128分音符   1/32拍

       192       1100 0000    附點  全音符   六  拍

        96       0110 0000    附點二分音符   三  拍

        48       0011 0000    附點四分音符   3/2 拍

        24       0001 1000    附點八分音符   3/4 拍

        12       0000 1100    附點16分音符   3/8 拍

         6       0000 0110    附點32分音符   3/16拍

         3       0000 0011    附點64分音符   3/32拍

       224       1110 0000  雙附點  全音符   七  拍

       112       0111 0000  雙附點二分音符   7/2 拍

        56       0011 1000  雙附點四分音符   7/4 拍

        28       0001 1100  雙附點八分音符   7/8 拍

        14       0000 1110  雙附點16分音符   7/16拍

         7       0000 0111  雙附點32分音符   7/32拍

      以自然數排序後,整理如下:

       224       1110 0000  雙附點  全音符   七  拍

       192       1100 0000    附點  全音符   六  拍

       128       1000 0000          全音符   四  拍

       112       0111 0000  雙附點二分音符   7/2 拍

        96       0110 0000    附點二分音符   三  拍

        64       0100 0000        二分音符   二  拍

        56       0011 1000  雙附點四分音符   7/4 拍

        48       0011 0000    附點四分音符   3/2 拍

        32       0010 0000        四分音符   一  拍

        28       0001 1100  雙附點八分音符   7/8 拍

        24       0001 1000    附點八分音符   3/4 拍

        16       0001 0000        八分音符   1/2 拍

        14       0000 1110  雙附點16分音符   7/16拍

        12       0000 1100    附點16分音符   3/8 拍

         8       0000 1000        16分音符   1/4 拍

         7       0000 0111  雙附點32分音符   7/32拍

         6       0000 0110    附點32分音符   3/16拍

         4       0000 0100        32分音符   1/8 拍

         3       0000 0011    附點64分音符   3/32拍

         2       0000 0010        64分音符   1/16拍

         1       0000 0001       128分音符   1/32拍

     由上表可知，音長代值之範圍，係由1至224,若只用位元組中之七個位元來表示,則因 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 =127 ,所以是不夠的。仍必須採用,放棄 第八位元表示正負數(拍長並無負數!)的作法,用 Unsigned 修飾詞,以增加一位元，用全 一Byte中八位元的方式,來處理拍長代值。

    公式戊:拍長與代值之間的關係規則是:代值 = (拍長 X 32) 。

    也就是說我們存在電腦中的拍長代值是實際拍長的32倍。我們若直接用拍長值存入電腦,則1/32=0.03152,並非整數,而電腦處理非整數較慢,記憶體也會造成浪費。這是我們以拍長值之32倍,為拍長數據代值,作數位存取的原因。

    這種專用後三位元來代表音域，前五位元代表音名,另以一Byte代表音長的辦法，均參考了電腦記憶體以位元為處理單位的二進位特性。我們知道電腦對位元式的運算,快於對自然數的運算。資料較龐大時,如何節約記憶體,也是音樂電腦數據化的重要考量點,這是我們不怕麻煩,屢用公式轉換代值,以便參用位元特性,來設計音性數據值的主要兩個原因。

    當我們要把拍長全乘以二(或除以二)時,只要將代表拍長的位元組,其中之資料左移 (或右移)一次。當我們要將音域提高八度(或降低八度),只要將代表音高的位元組,後三位元之資料加一(或減一)一次。當我們要平移高五度(或低五度)時,只要將代表音高的位元組 ,前五位元之資料減一(或加一)一次,依此類推。

   以十進位數來說,就是:

   1:拍長代值,由1-224。拍子延長一倍,代值乘以２;拍子縮小一倍,代值除以２。

   2:音名代值,由0-31 。音名升高五度,代值加以１;音名降低五度,代值減以１。

                    音名升高二度,代值加以２;音名降低五度,代值減以２。

餘類退推。

  3:音域代值,由０－７,音域提高八度,代值加以32;音域降低八度,代值減以32。

   無論升高幾度，基本音名反變低者，必已進入高八度，代值須再加以32;

   無論降低幾度，基本音名反變高者，必已進入低八度，代值須再減以32。

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音的性質(於電腦內)數據化的商榷(二) ─古琴譜音高之翻譯部份           

內容提要:

文本介紹用電腦程式,翻譯古琴譜之基本原理。琴譜中與音高翻譯有關之訊息是調序、絃序、徽位、使用泛音與否。本文介紹一公式,可由此四參數,計算出音高。最後描述此程式的操作方法與流程。

關 鍵 詞:電腦音樂 古琴譜翻譯

                           空絃之音高計算公式

     用電腦翻譯古琴譜之音高時，要計算(各調各)空絃之音高、徽位之音高、泛音之音高。

     其中以空絃之音高計算公式最為複雜。所幸我們終於找到了幾個公式。

     古琴有『琴譜五調』之說，因為以古琴(最低)的第一絃來看，只有為宮、為商、為角 、為徵、為羽五種調子。故也有只稱為宮調、商調、角調、徵調、羽調等五調的。

     若以含固定音高觀念的律調名來看，『琴譜五調』究屬何調?則因琴派的不同，(有的以黃鐘調為徵調、有的以仲呂調為徵調),就有多種系統。

     但我們分析起來，古琴的基本轉調法只有兩種：

     (一)、以慢宮為角法，轉高五度調；

     (二)、以緊角為宮法，轉低五度調。

     若以Ｆ調為基本調，則︰

以慢宮為角法，可轉出 Ｃ、Ｇ、Ｄ、Ａ四調；

 　　 以緊角為宮法，可轉出bB、bE、bA、bD四調；

     各家之『琴譜五調』必包括在此九調之內。各調之調序編號，及各絃各調之音名如校︰

                       各琴調空絃音位對應表：

                                    基

                      緊角法四調    本    慢宮法四調

                    ┌──────┐ 調 ┌──────┐

      調    序       ０  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８

      調    高      bD  bA　bE　bB　Ｆ　Ｃ　Ｇ　Ｄ　Ａ

      調    式       宮  角  羽  商  徵  宮  角  羽  商

                     調  調  雕  調  調  調  調  調  調

      ----------------------------------------------------------------------------------

      第一絃(Ｃ絃)    １  ３  ６  ２  ５  １  ３  ６  ２

      第二絃(Ｄ絃)    ２  ５  １  ３  ６  ２  ５  １  ３　

      第三絃(Ｆ絃)    ３  ６  ２  ５  １  ３  ６  ２  ５

      第四絃(Ｇ絃)    ５  １  ３  ６  ２  ５  １  ３  ６

      第五絃(Ａ絃)    ６  ２  ５  １  ３  ６  ２  ５  １

      第六絃(Ｃ絃)    １  ３  ６  ２  ５  １  ３  ６  ２

      第七絃(Ｄ絃)    ２  ５　１  ３  ６  ２  ５  １  ３

      我們現僅以第一絃各調之唱名，與調序之關係來看，可知有如下之關係：

      調    序        ０  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８

      --------------------------------------------------------------------------------

      第一絃(Ｃ絃)唱名１  ３  ６  ２  ５  １  ３  ６  ２

      唱名代碼        14  18  17  16  15  14  18  17  16

故第一絃之唱名代碼必＝(１０－調序)％５的餘數＋１４

以第二絃各調之音名，與調序之關係來看，可知有如下之關係：

      調    序        ０  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８

      -------------------------------------------------------------------------------

      第二絃(Ｃ絃)    ２  ５  １  ３  ６  ２  ５  １  ３

      唱名代碼        16  15  14  18  17  16  15  14  18

故第二絃之唱名代碼必＝(１２－調序)％５的餘數＋１４

同理第三絃之唱名代碼必＝(１４－調序)％５的餘數＋１４

同理第四絃之唱名代碼必＝(１６－調序)％５的餘數＋１４

同理第五絃之唱名代碼必＝(１８－調序)％５的餘數＋１４

同理第六絃  同第一絃唱名代碼高八度。  42-

同理第七絃  同第二絃唱名代碼高八度。  44-

  此五公式形式全同，只有第一個被減數不同，被減數與絃序之關係如下：

            絃　序　　　一　二　三　四　五

            ------------------------------------------------  (第六、七絃?)

            被減數      10  12  14  16  18

        可見被減數 ＝　 ８　+ ２ x ( 絃序 )　

                   ＝   ２　x ( ４ + 絃序 )

     因此，此五公式實可合併為一公式，如下：

     唱名代碼 ＝｛〔２　x　( ４　+　絃序 )〕-　調序　｝% ５　的餘數  +　１４

     若以X表示唱名代碼、Ｄ表示調序、Ｓ表示絃序，此公式為︰

     公式己　：　Ｘ ＝[(( 2 x ( 4 + S )) - D ) % 5 ] + 14

     以第五絃(Ａ絃、絃序為５)為例，Ａ調時(調序為８)其空絃音名代碼，經計算為

     唱名代碼 ＝｛〔2 X ( 4 +　5 )〕－　8 ｝% 5 的餘數 + 14

              ＝｛〔2 X  9〕－　8 ｝% 5 的餘數 + 14

              ＝｛18 －　8 ｝% 5 的餘數 + 14

              ＝｛10 ｝% 5 的餘數 + 14

              ＝ 0 + 14

              ＝ 14  (為宮，即Do的代碼) 洽合於上述之各琴調空絃音位對應表。

     再以第二絃(Ｄ絃、絃序為２)為例，Ｄ調時(調序為７)其空絃音名代碼，經計算為

     唱名代碼 ＝｛〔2 X ( 4 +　2 )〕－　7 ｝% 5 的餘數 + 14

              ＝｛〔2 X 6 〕－　7 ｝% 5 的餘數 + 14

              ＝｛ 12 －　7 ｝% 5 的餘數 + 14

              ＝ 5 % 5 的餘數 + 14

              ＝ 0 + 14

              ＝ 14  (仍為宮，即Do的代碼) 亦洽合於上述之各琴調空絃音位對應表。

     基本音名之值，與唱名代碼之關係，即修正公式甲：

     基本音名＝〔（唱名代碼Ｘ４）＋１〕％７的餘數，(餘數若等於０，就直接轉換為7)。

     公式庚：各調各絃之基本音名=[(唱名代碼 X 4 ) + 1 ] % 7 的餘數，

=｛{[ 2X (4+絃序) - 調序 ] % 5 的餘數 + 14 } X 4   + 1 ｝% 7 的餘數， (餘數若等於０，就直接轉換為７)。

     以上就是可以被電腦運算的，計算古琴空絃音高，與調序、絃序間關係的通用公式。 (高八度絃，還要參考公式丁加以32!)

     完整的各調、各絃之音名代碼,應如下所示:

      調    序       ０  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８

      調    高       bD　bA　bE　bB　Ｆ　Ｃ　Ｇ　Ｄ　Ａ

      調    式       宮  角  羽  商  徵  宮  角  羽  商

                     調  調  調  調  調  調  調  調  調

   --------------------------------------------------------------------------------

 　第 1絃(Ｃ絃)代碼   0   4   3   2   1   0   4   3   2

 　第 2絃(Ｄ絃)代碼   2   1   32  4   3   2   1   32  4

 　第 3絃(Ｆ絃)代碼   4   3   34  1   32  4   3   34  1

 　第 4絃(Ｇ絃)代碼   1   32  36  3   34  1   32  36  3

 　第 5絃(Ａ絃)代碼   3   34  33  32  36  3   34  33  32

 　第 6絃(Ｃ絃)代碼   32  36  35  34  33  32  36  35  34

 　第 7絃(Ｄ絃)代碼   34  33  64  36  35  34  33  64  36

   以上,是以Do為0之代碼,以bbDo為0時,Do之代碼則為14,上表須修正為

      調    序        ０  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８

      調    高        bD　bA　bE　bB　Ｆ　Ｃ　Ｇ　Ｄ　Ａ

      調    式        宮  角  羽  商  徵  宮  角  羽  商

                      調  調  調  調  調  調  調  調  調

   ---------------------------------------------------------------------------------------

 　第 1絃(Ｃ絃)代碼   14  18  17  16  15  14  18  17  16

 　第 2絃(Ｄ絃)代碼   16  15  46  18  17  16  15  46  18

 　第 3絃(Ｆ絃)代碼   18  17  48  15  46  18  17  48  15

 　第 4絃(Ｇ絃)代碼   15  46  50  17  48  15  46  50  17

 　第 5絃(Ａ絃)代碼   17  48  47  46  50  17  48  47  46

 　第 6絃(Ｃ絃)代碼   46  50  49  48  47  46  50  49  48

 　第 7絃(Ｄ絃)代碼   48  47  48  50  49  48  47  78  50

     由琴譜來辨調,實務上有其複雜性。姑暫不論各琴譜,其自身律說、調說、轉調法、多有錯誤,且不能自圓其說。只以大要而論,彼此間最少就有六種體系:有一調高可有多調主者;有調主與調高成固定結合者(有一絃為宮,叫宮調者;也有三絃為宮,叫宮調者);有以三絃為黃鐘正調者,又有以一絃為黃鐘正調者。

    如<梅庵琴譜>似是有調高又有調主的了,但又曰:"僅言音(調主)而不言調(調高)者,可推求而知之─僅言宮,可知其為黃鐘調(三絃為宮)..."。可知它實是調主與調高成固定結合的體系,並以三絃黃鐘.宮為正調,且三絃為宮叫宮調。

    而<研易習琴齋琴譜>載:"中呂均,以三絃為宮,故名正調"。而正調本身又有宮音、商音、角音、徵音、羽音等曲目,可知它是一調高可有多調主,調高與調主並不成固定結合的體系,且以三絃仲呂.宮為正調。與<梅庵琴譜>完全不同。

    許多琴譜之琴曲,只言『商音』、『商意』....,而未附說明。則不能得知其所屬體系 ,究是本調之商音,還是低五度調(或高大三度調)之商音,而商(調主)又是否為第一絃或第三絃?

    這時,我們可能須要將同一琴譜作多種嘗試,以便觀查出其所屬體系。

    調序改變時,音代值可以很方便的轉換,這是我們用電腦譯譜的目的之一,也是我們採用音代值的原因之一。

     透過術以上公式,就可以作到了!

     我們理想中的作法,是將左手指法代碼、右手指法代碼、絃位代碼、徽位代碼等琴譜的原始資料輸入、存入電腦,只有在輸出時,才透過調序的設定,輸出全部或部分的音名及譜字,以節約記憶體及時間。故須要探討音高與調序、絃位、徽位、泛音之關係公式。

古琴的譜字之上半段由左手符號(指法、徽位)組成,下半段由右手符號(指法、絃位)組成。則不但要與左手指法代碼、右手指法代碼產生關聯,還要考慮上下半段各由兩個造型組而成之邏輯性設計。

                           徽位之音高計算公式

    下面,我們將研討古琴各音位(徽位)之音高表示法:

    古琴雖只有十三個徽位,實際音位則遠超過於此,理論上最多應可有３７個,其音名與所應增加之音名代值如下:

以所加代值大小排序,則如下所示:

      由上表可知,若ｘ是徽位的序號，ｙ是各徽位應加之代值，則

 　　公式辛：ｙ＝( H - 4 ) + ( 20 * (H % 12) )

 ,但要注意，是否超過八度?須參考前述公式丁---移調時對音域的影響部份--先用音名之比較法，若超過八度，須再加以３２。(古琴之唱名連七自然音及含#、b號各五個的變化半音在內,共只有17個,可更進一步簡化為16個)。

                           泛音之音高計算公式

     理論上,古琴之十三個徽位上,皆可用左手之浮按法彈得泛音。其徽位若在空絃之x等分處,則音高為空絃之x倍,對照表如下: