钢琴音响结构之分析－三律并存方式
钢琴音响结构之分析
——三律并存方式
（上海音乐学院作曲指挥系2005级博士研究生：李 涛）
内容摘要：本文是对钢琴艺术音响进行深层系统的数理审美之探求，全面揭示钢琴丰富的音律蕴涵，即钢琴并非是单一的十二平均律乐器，其音响纵横结构是以十二平均律为基本框架，兼有纯律、五度相生律元素在内的“三律”乐器。通过对钢琴音响结构横向“基音偏差音” 、纵向“倍音泛音列”的理论、实践，及其理论与实践相结合之分析、计算与比较研究后，其结果更详细更确凿的证实了钢琴音响，无论是基音、泛音，还是基音与泛音的复合，都以特定的形式蕴含着三律，并在一定的意义上可以作为[1]李曙明先生创立的“复频弹性十二平均律”的理论原型而存在。因此，认识和掌握钢琴音响结构存在三律的理论，有助于我们在钢琴音乐艺术的创作、表演、欣赏、教学、研究等诸方面，都有一定的、程度不同的审美意义和学术价值。
关键词：十二平均律；五度相生律；纯律；钢琴基音、泛音；钢琴音响之复频
钢琴之所以有“乐器之王”的美称，除其广阔的音区、宏大的音量、自由转调等因素之外，更重要的是它还具有变化无穷的和声复调音响以及与此密切相关的极其丰富的“律学”蕴涵。
通过对钢琴音响的乐律学研究，从钢琴音响结构横向“基音偏差音”、 纵向“倍音泛音列”的理论、实践，及其理论与实践相结合之分析、计算与比较研究中，更详细更确凿的证实了钢琴音响，无论是基音、泛音，还是基音与泛音的复合，都以特殊的形式蕴含着三律，并在一定的意义上可以作为“复频弹性十二平均律1”的理论原型而存在，由此我们发现钢琴并非是单一的十二平均律乐器，其音响纵横结构是以十二平均律①为基本框架，兼有纯律②、五度相生律③在内的“三律”乐器。因而，全面揭示钢琴丰富的音律蕴涵，是对钢琴艺术音响进行深层系统的数理审美之探求。认识和掌握钢琴音响结构存在三律的理论，有助于我们在钢琴音乐艺术的创作、表演、欣赏、教学、研究等诸方面，都有一定的、程度不同的审美意义和学术价值。
音律审美形成由单一向综合发展的大体趋势，并不排除单一中的综合因素以及综合中的单一要求。当代人的音律审美需要表现出更多更高的综合性要求，三律的任何一律，都难以满足这种需要，所以人们才自觉不自觉地将三律共用于音乐实践之中。
从三律的单一存在发展到当代三律的有机结合（即“复频弹性十二平均律”）。五度相生律与旋律美相映，纯律与和声美相映，平均律与转调美相映，复频弹性十二平均律综合三律之长，避其之短，构成一个新的律制，使三律融为一个自由变通的统一体，进入相对的自由王国，形成一种音乐美的“统觉”。因此，钢琴之音响结构具有当代律制的某种征示。
钢琴音响结构的三律蕴涵方式
一、横向：“钢琴基音的三律并存”方式
本人根据[2]美国声学家罗辛的钢琴基音“偏差音”曲线图绘制了“偏差音”音分频率对照表（即钢琴基音“偏差音”对照表），并做了详细的分析。按照横向基音“超八度”的思维方式，即把标准的音分值音组和偏差值的音分值音组的“同名异频”两个音进行比较、运算、分析，从中可发现其音分差，以及同时这些音差所蕴涵着三律性质。可以看出88个音奏响的每一组基音（除小字一组）频率（指单频）不只是均等的十二平均律的频率值，而是出现了不同程度的“偏差”现象，从律制上看有的属于的五度相生律（±2）性质的偏差音；有的则属于纯律（±14）性质的偏差音。这样从基音“偏差音”曲线上就反映出了钢琴音响的实际基音是蕴涵三律的（是在超八度的方式中存在着），即“钢琴基音的三律并存”——钢琴基音“偏差音”对照表分析。如下：
附： 钢琴基音“偏差音”曲线图：
钢琴基音“偏差音”对照表：
1、从宏观上分析偏差音音差区间的特点：
“偏差音”从小字一组的平均律音分值向高低音组开始扩张：
经过一组的扩张，偏差音分值在（±1—2）区间，形成反向小字组与小字二组的偏差音分值的一定对应关系；
再向外扩张一组（即大字组和小字三组）比较，偏差音分值约在（±2—10）区间，形成这两组的偏差音分值的一定对应关系；
继续向外扩张（即大字一组、大字二组与小字四组、小字五组）比较，偏差音分值约在（±8—40）区间，形成这两对组的偏差音分值的对应关系。
从以上偏差音分值的扩张可以看出，从中间音组向外音组扩张的音分值的偏差越来越大，低音越来越低，高音越来越高，最低音比最高音偏差的音分值更大，两极偏差音和为70音分（即A2—c5 ），也就是说整个88个音的偏差音幅度有70个音分，相当于一个纯律小半音71音分的音分值；从七个八度C1—c 5的偏差音来看，有55个音分的幅度（即C125+ c 530=55），相当于一个1/2纯律大半音56音分的音分值(纯律大半音为112音分÷2=56音分)。
2、从微观上分析偏差音的性质：
1）首先，以小字一组作为对照标准，这组各音之间的音分值相等，没有出现偏差音，所以属于十二平均律的性质。
2）以每组音C来看，从小字一组向高低音组扩张，C的偏差音分数成倍数关系。如下：
各组C音的基音偏差值为：
偏差值:（-40） -25 -10 -2 0 1 2 8 30
音 组:（A2） C1 C c c1 c2 c3 c4 c5
各组音的偏差值范围为：
偏差值: -14 -8 -2 0 2 6 21
音 组: C1 C c c1 c2 c3 c4
分析：从以上两个偏差音分值来分析，越向低音越低，越向高音越高，低音与高音偏差的音分值有一定的对应性。其偏差值分别具有五度相生律和纯律的音程性质。
如： -10音分的偏差，意味着平均律大三度400-10=390，接近于386音分的纯律大三度，属纯律性质；或100-10=90，属于五度相生律小半音90音分；
如：+2音分的偏差，意味着平均律纯五度700+2=702，属于五度相生律和纯律的纯五度性质；-2音分的偏差，意味着平均律纯四度500-2=498，也属于五度相生律和纯律的纯四度性质；
如：+6音分的偏差，意味着平均律大六度900+6=906，属于五度相生律的大六度性质；
如：-14音分的偏差，意味着平均律小六度800+14=814，属于纯律的小六度性质。
如：+8音分的偏差，意味着平均律大三度400+8=408，属于五度相生律的大三度性质。 等等。
3）从整个基音“偏差音”对照表来具体分析五度相生律音程性质的存在。如下，五度相生律的主要音程：
① 五度相生律的纯五度（702cent）、纯四度（498 cent）
如，小字组的d（-2）与标准d1偏差2个音分，按照超八度思维方式是：
d（-2）→a1 （实际超1个八度）700+2=702cent，d音低2个音分，也就是音程距离拉宽了，就为702cent。
再如，超八度思维方式#d（-2）→#a1、# c（-2）→#g1、a1→e2（+2）、b1→#f2（+2）等都是同样偏差音在平均律纯五度基础上多了2个音分。700+2=702cent，即为五度相生律的纯五度，转位为纯四度（1200-702=498音分）。见下：(d )d1→a1转位 a1→d 2
1200+700+2=1902→1902-1200=702（纯五度）转位：1200-702=498（纯四度）
② 五度相生律大三度（408cent）、小六度（792 cent）
如，大字组D（-8）与标准小字一组的#d1偏差8个音分，按照超八度的思维方式是：D(-8) →#f1 （实际超2个八度）400+8=408cent，即大字组D低8个音分，也就是音程距离比标准大三度#f1(400)更宽了，所以400+8=408cent，即为五度相生律的大三度，转位为小六度（1200-408=792）。见下：(D)d1→#f1转位 #f1→d 2
2400+408=2808 → 2808-2400=408（大三度）转位：1200-408=792（小六度）
③ 五度相生律小三度（294cent）、大六度（906cent）
如，大字组E(-6)和标准小字一组#e1偏差6个音分，也就是比标准小三度c1(300)音程距离缩近了，窄6个音分，按超八度思维方式为：#c1→E(-6) （实际超2个八度）300-6=294cent，即为五度相生律的小三度，转位为大六度（1200-294=906）。
见下：#c1→(E)e1转位e1→#c2
2400+（300-6）=2694→2694-2400=294小三度 转位1200-294=906大六度
④ 五度相生度大二度（204cent）、小七度（996 cent）
如，大字组#F(-4)与标准小字一组的#f1偏差4个音分，也就是音程距离比标准大二度#g1(200)增宽了4个音分，按超八度思维方式为：#F(-4) → #g1（实际超2个八度）200+4=204cent，即为五度相生度大二度，转位为小七度（1200-204=996）。
见下：（#F） #f1 → #g1转位#g1 →#f 2
2400+200+4=2604→2604-2400=204（大二度）转位：1200-204=996（小七度）
⑤ 五度相生律小二度（90cent）、大七度（1110 cent）
如：小字四组#c4(+9归属于+10的性质)与标准小字一组的#c1偏差10个音分，也就是低音高了10音分，与上方二度d1构成的音程距离缩小了，按超八度思维方式为： #c4（+10）→d1（实际超3个八度）100-10=90，即为五度相生律小二度，转位为大七度（1200-90=1110）。见下：（#c4） #c1→d1转位d1→#c2
3600+(100-10)=3690→3690-3600=90小二度 转位：1200-90=1110 大七度
以上从钢琴基音“偏差音”曲线对照表中分析出属于五度相生律性质的主要音程，从这几个主要音程中可以看出并证实钢琴的基音也是具有五度相生律音响性质的存在的。
4）下面依对照表列举分析钢琴基音具有纯律偏差音音程性质的存在。
最主要的纯律音程，即：纯律大三度386cent和纯律小三度316cent 。
① 纯律大三度（386cent）、小六度（814 cent）
如，大字组的#G1(-14)与小字一组标准的#g1偏差14音分，即与e1构成大三度音程距离就缩小了，按超八度思维方式表示：e1 → #G1(-14) （实际超3个八度）400-14=386，即纯律大三度，转位为小六度（1200-386=814 cent）。
见下：e1 →（ #G1 ）#g1转位#g1→e2
3600+（400-14）=3986→3986-3600=386大三度 转位：1200-386=814 小六度
② 纯律小三度（316cent）、大六度（884 cent）
纯律纯五度和五度相生律纯五度音分值相等都是702cent，用纯律纯五度-纯律大三度=纯律小三度,即702-386=316cent(纯律小三度)。见“偏差音”对照表的#F1与标准小字一组的a1偏差16音分（实际超3个八度），含有纯律小三度的性质，转位为小六度（1200-316=884）。见下：（#F1）#f1→a1转位a1→#f2
3600+（702-386）=3916→3916-3600=316小三度 转位：1200-316=884大六度
5）此外在钢琴基音“偏差音”对照表中也有五度相生律的“最大音差24cent”和纯律的“普通音差22cent”的存在。分析如下：
① 五度相生律“最大音差24音分”：是从一个音开始按五度相生12次（每次多2音分）×2而得的24音分差；在五度相生律中大半音（114）和小半音（90）也相差一个最大音差24音分。
例，“偏差音”表中相差24音分的有：小字四组a4(+24)与小字一组标准a1 （+0）按超八度方式多了24音分，即(a4)924-(a1)900=24cent.这是钢琴在三个八度之间出现了五度相生律的最大音差。
如下：a4 → a1
924-900= 24cent
再例：“偏差音”表中大字一组#C1(-24)与小字一组标准#C1（+0）按超八度方式多了24音分，即（#C1）124-（#C1）100=24cent.
如下：#C1 → #C1
124-100=24 cent.
还有，从两个偏差音本身之间也可找出五度相生律的“24音分最大音差”。
如：大字二组的A2(-40)与大字一组的#F1(-16)之间的音差值为24，即40-16=24cent；
大字二组的A2(-40)与大字一组的G1(-15)之间的音差值为25，即40-15=25cent,接近于24音分，也属于“五度相生律的最大音差”，等等。凡是在“偏差音”表中接近于（±）24音差的音程都属于“五度相生律最大音差”。
② 纯律“普通音差22音分”:是纯律两个大二度音差为22音分，也就是说，同样是全音，但它们之间的音程关系并不一样，如c-d音分值为204，而d-e音分值为182，之差为：204-182=22cent.
凡是在“偏差音”表中接近于（±）22音差的都属于“纯律普通音差”。
见“偏差音”图表：大字一组的D1(-22)和小字四组的#g4（+22）与小字一组的标准d1（0）和#g1（0）偏差22音分；
还有，从两个偏差音本身之间也可找出纯律22音分或接近于22音分的“普通音差” ：
如，大字二组的A2 (-40)与大字一组的E1(-19)、F1(-17)两者之间的音差值为：40-19=21 cent和40-17=23cent,都接近于22cent,因此也归属于纯律“普通音差22音分” 。（见“偏差音”表）
由此总结出，“偏差音”曲线对照表中：
① 凡是接近于（±）14音分（包括13、14、15cent）的兼有纯律与五度相生律音差性质（即纯律大三度386cent和转位小六度814cent，以及五度相生律大半音114 cent）；
② 凡是接近于（±）16音分（包括15、16、17cent）的属于纯律音差性质（即小三度316cent和转位大六度884cent）；
③ 凡是接近于（±）4音分（包括3、4、5cent）的属于五度相生律和纯律音差性质（即大二度204cent和转位小七度996cent）；
④ 凡是接近于（±）10音分（包括9、10、11cent）的属于五度相生律音差性质（即小二度90cent和转位大七度1110cent）；
⑤ 凡是接近于（±）2音分（包括1、2、3cent）的属于五度相生律音差性质（即纯五度702cent和转位纯四度498音分）；
其中音分值有精确度高的音程，亦有相对于近似值的音程。
综上所述，从钢琴的基音“偏差音”曲线对照表的分析中可以揭示出钢琴的基音是在超八度的方式中存在着三律的各种音程，即钢琴基音音响三律并存。
二、纵向：“钢琴泛音的三律并存”方式
钢琴的88个键，每个键所对应的琴弦全长即1/1，所发出的乐音是基音。但琴弦不仅以全长1/1的方式振动，它还由自然法则决定，必然以琴弦全长的1/2、1/3、1/4、1/5、1/6……等规律振动（这就是通常所说的“泛音”即倍音、谐音，也称倍频），倍音即是高于基音频率二倍、三倍 、四倍、五倍、六倍……之音。基音与倍音协同振动，即“同音复频”是造成钢琴音律复合的根本原因。
钢琴的音响从纵向分析（见下表：钢琴大字组泛音表），看其泛音的结构，每一个音的第二谐音到第六谐音，所产生的纯五度、大三度、小三度的音分值和频率都包涵五度相生律和纯律的性质。如下：
从泛音列的第二到第六谐音分析，第二和第三谐音产生的纯五度（C—G=702cent）比实际钢琴基音的纯五度（700cent ）要高2个音分，这属于五度相生律的音差性质。而泛音列中第四和第五谐音产生的大三度（C—E=386cent），比实际钢琴基音大三度（400音分）少14音分，这属于纯律大三度的音差性质；同时“14音分”也是五度相生律大半音114音分与平均律半音100音分的音差值。见下表：
从上表中可以看出泛音列中产生的大三和弦：纯五度的五音要高2音分（即702cent）是五度相生律的纯五度；大三度的三音要低14音分（即386cent）是纯律的大三度。
所以，从这个复合音（基音＋泛音）可以总结出，钢琴的音响不仅仅是单频的音响，而是，在泛音中具有五度相生律（+2）复频的音响和纯律（-14）弹性音差的变化。即，钢琴的纵向泛音音响蕴涵三律特征。如下：
① 钢琴本身基音之间也存在着复频，如，基音c与g1同时鸣响时，c的泛音g1就高于实音g1 2音分，形成了0与＋2的复频.例：
② 小提琴与钢琴合作时，小提琴的空弦音也常常高于或低于相应的钢琴实音2音分，形成复频，例：
③ 声乐和钢琴合作时，例如钢琴伴奏弹出一个大三和弦时，声乐唱出该和弦的五度（702cent）音比钢琴实音高出2音分；或三度（386cent）音比钢琴实音低14音分的复频与弹性，如：尚德义的声乐作品《牧笛》开头引子：
以上这2音分与14音分的音差是根据人们审美需求与高度发达的音乐直觉而自然形成的，在钢琴与管弦乐的协奏中，2音分与14音分之差也更是司空见惯了，他不但未造成非审美冲突，而且常常增加着审美效果。而这二种音差，即2音分与14音分，正是造成钢琴音律复合（即三律蕴涵）具有本质意义的音差。因此，“弹性十二平均律”、“复频弹性十二平均律”的研究，揭示了这两种律差的存在，同时利用这两种律差提出了合“三律”为一律的数学模型。在这种意义上可将钢琴视其为包涵三律元素的当代律器。
三、钢琴音响之复频：
钢琴音响十二平均律与纯律之音响复频：
如果我们把平均律看作无理数等比律制，那么我们就可以将纯律看作自然数非等比律制，平均律与纯律之复频即可被看作无理数与自然数的协同，这种协同是钢琴音响丰满富丽的数理原因，也是音乐的“美的数学”特征的具体体现。
平均律与纯律之复频，如：平均律的大三度400音分，但平均律自然泛音形成的大三度是386音分属纯律特征，因此平均律基音奏响的大三度同时也伴随着泛音纯律大三度的鸣响，这就是平均律与纯律音响之复频。
在五度之间，由于大三度的插入，必然造成一个纯律小三度316音分，因此又出现平均律与纯律之间的小三度的复频。
众所周知，大小三度及其转位是一切种类的大小三和弦、大小七和弦乃至九和弦、十一和弦等更高序数和弦的结构基础，就基音与泛音的同时客观协同存在而言，我们可以认为，钢琴音乐音响中的一切三、六度和音，特别是一切以三度叠置原则而建构的和弦，都实际上是平均律与纯律大小三度（及其转位大小三六度）的复频。因此钢琴进入听觉的和声、和音、和弦现象，在本质上必然是平均律与纯律的复频。
人类通过几千年的探索，发明了平均律，使之能够满足人类的转调自由的需要。从一音域的基音之间的关系的视角看，这似乎以牺牲三度、五度（以及转位六、四度）的自然纯正和谐为代价，但在钢琴基音与倍音的音响系统中却因基音与倍音的必然协同得到了某种弥补。
钢琴和声的音律复合的确是“人工”与“天工”的巧妙融合，令人叹为观止。
钢琴音响十二平均律与五度相生律的复频：
平均律的五度是700音分，五度相生律的五度是702音分，由此分析平均律与五度相生律五度的复频情况。
五度相生律每次五度循环高2音分，故12次相生后高于原音24音分（即＃b高于c 24cent）。
由于平均律五度700音分的作用，钢琴上所呈现出的五度相生过程，则既包含702音分的五度相生律五度音响，又包含700音分的平均律五度音响，“复频”原型而且可以“黄钟还原”。这可视为又一个音律之“天工”与“人工”巧妙融合的结构。
根据以上的概略“描述”，初步得出结论：从总体上说，遵循当代国际调律规范的钢琴，是蕴涵“三律”——平均律、纯律、五度律的音响系统（或者说钢琴音响是一个纵横立体的音响系统存在）。因此我们有理由认为，钢琴音响基本是以平均律为基本框架蕴涵”三律“的键盘乐器。无论是基音还是泛音都存在着三律元素，蕴涵着三律音响。
但在这里也值得注意的是：钢琴之所以称之为“平均律乐器”也有它特殊的存在方式。我们观察钢琴基音的“偏差音”曲线表，从每个音组独立来看偏差值，相邻两音之间的偏差音分值差数比例几乎近似于1:1，所以，从这个角度也可称之为“相对平均律乐器”。
结 语
在人类的音乐活动中，钢琴音律以其绝对精确与相对自由的对立统一，数理结构与审美功能的对立统一，制约着人们音乐思维的整个过程，贯穿于一切优秀音乐作品的始终。音律随着人类音乐审美需要的发展而发展，它具有稳定的继承性和广泛的世界性。
在音乐实践中，演唱和演奏的音准问题必然涉及到律制。纯律和五度相生律相对独立地发挥着十二平均律难以替代的独特审美功能，而三律的任何一种，都难以满足这一审美需要，所以人们才自觉不自觉地将三律共用于音乐实践之中。演唱、演奏大都要在音律上都是在三律间往返完善的变通运动。
从中外律学发展史中可以看出：因音乐听觉审美的需要，从“五度相生律”中解决了单声音乐的音阶构成而流传于世；到“纯律”的出现是出于多声音乐和谐感的需要；到自由转调的需要而催生出了“十二平均律”；再发展到音乐审美的综合需要而完成了三律合一，即“复频弹性十二平均律”，这是自古以来人们对单一律制的审美局限的涵超。这些都足以说明，研究动力主要来自于音乐美感的历史发展。
从宏观的立场观察，将三律视为一个大的统一音律系统的三个侧面，这三个侧面在数理上无限延伸几乎可达完全同一的程度。在实践中，三律更是互相渗透、互相包含、互相转化。三律间数量差异，割不断三律间的审美同一性，其小的差异（如2—4音分左右之差）不但不影响审美效果，而且常有丰富审美效果之功用；其较大的差异（如14—22音分左右之差），经适当调整亦能与人的审美需要相吻合。这样即可构成一种兼顾三律审美功能特色的新型综合性律制，即复频弹性十二平均律，这也是当代音律研究的重大课题。
现代钢琴音响实质上就是利用蕴涵三律特征“偏差音”曲线来进行调律的，这样的钢琴音响才会更富有审美、更遵循自然、更丰富、更和谐、更好听，把钢琴所具有的这种“偏差音”音响特性运用到实际创作和演奏中更是值得探究和思考的。正如，现代作曲家利盖蒂3（Ligeti）从20世纪80年代后就进行了非常积极的尝试，突破十二平均律音高体系，获得了独特的混合律制音响效果，如他的《钢琴练习曲》开篇之作“混乱”（或称“无序”），在调式上运用独特的创作手法：即右手声部采用白键七声音阶，左手声部采用黑键五声音阶，其纵向混合效果造成错综复杂的混合音响，就是蕴涵着三律音响；还有施尼特凯（Schnittke）在1972-76年创作的《五重奏》（钢琴+弦乐）中所运用的1/4和3/4“微分音”音响，也是利用声音的“偏差音”音响特性来达到自己的创作需求和效果。
所以，利用钢琴存在的三律复频现象，掌握三律及其应用的方法，将会奠定音乐表演艺术审美和创作艺术领域的自然基础，它的基本要求是严格性、数理性、必然性，但允许一定的模糊性、可变性、偶然性。简言之即数理精确性与审美自由性的辨证统一，真正达到三律变通灵活作用的理性与感性认识的“统觉”。
因此，这种钢琴的“三律并存”现象早在现代钢琴的实践中就以审美音响的方式存在着，只是人们没有觉察它、发现它、分析它、研究它。在此，文章做以揭示，与同仁共勉，使大家对钢琴律制有个正确的认识，对钢琴音响有个全新的体会，真正从理论上、实践上感受到它给我们生活带来的审美听觉和感受。
注 释：
① 十二平均律：半音之间均为100音分，12个半音关系构成一个纯八度音程，共计1200音分。
② 纯律：是用纯五度（弦长之比为2：3）和大三度（弦长之比为4：5）确定音阶中各音高度的一种律制。例如：大七度为纯五度加大三度，小三度为纯五度减去大三度，由于纯律音阶中各音对主音的音程关系与纯音程完全相符且其音响亦特别协和，故称“纯律”。
③ 五度相生律：就是中国古籍管仲的《管子》（地员篇）记载最早的“三分损益律”，本质上是一种律制。毕达格拉斯提出的五度相生律：以“纯五度叠加“的原则，即从一个音出发，以纯五度相叠加，最终在七个八度的范围内，叠加12次，得到十二个半音，将这十二个半音移到一个八度内，就形成了五度相生律的音价。
参考文献：
1、李曙明《天人乐舞》的“乐律学篇”，敦煌文艺出版社，（1999年11月第一版）
2、缪天瑞《律学》人民音乐出版社（1996年第三次修订版）.
3、陈鸿铎《利盖蒂的结构思维特征、表现形式及其意义》，《中国音乐学》2005年第四期
